PORTFÓLIO CÁLCULO DE VOLUMES, UTILIZANDO O MÉTODO DA INTEGRAL POR REVOLUÇÃO, E O CÁLCULO DO CENTRO DE MASSA

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DESCRIÇÃO


PORTFÓLIO CÁLCULO DE VOLUMES, UTILIZANDO O MÉTODO DA INTEGRAL POR REVOLUÇÃO, E O CÁLCULO DO CENTRO DE MASSA ︱CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ︱POSSUI UM TOTAL DE 14 PÁGINAS

 

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A proposta de Produção Textual Interdisciplinar em individual (PTGI) terá como temática dois tópicos
importantes que serão estudados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II, sendo eles o cálculo
de volumes, utilizando o método da integral por revolução, e o cálculo do centro de massa de um
objeto. Esses dois tópicos têm ligação direta com conceitos que serão estudados em Física.
Escolhemos essa temática para possibilitar a aprendizagem interdisciplinar dos conteúdos
desenvolvidos nas disciplinas desse semestre.
Neste trabalho você desenvolverá a atitude de investigação, sistematizando julgamentos baseados
em critérios e padrões qualitativos e quantitativos relacionados a uma situação geradora de
aprendizagem (SGA) e embasados em conhecimentos construídos em cada disciplina.
Inicialmente, é importante que você realize a leitura atenta da situação descrita para, na sequência,
seguir as orientações apresentadas em cada uma das etapas subsequentes de modo a organizar suas
ideias para a conclusão, com qualidade, deste trabalho.

 

Situação-problema:
Você é professor de Matemática em uma escola que contempla as séries do Ensino Médio. Essa
escola é caracterizada pelo fato de desenvolver vários trabalhos e eventos interdisciplinares ao longo
do ano letivo. No início do semestre, a equipe pedagógica da escola informou que promoverá um
evento dedicado à realização de várias oficinas e palestras interdisciplinares com o intuito de

desenvolver, principalmente, o pensamento crítico e investigativo dos alunos. O objetivo central
desse evento é demonstrar para os alunos como alguns pontos centrais das disciplinas estudadas no
ensino médio são desenvolvidos no ensino superior fazendo um paralelo com os seus
desenvolvimentos no ensino médio. A interdisciplinaridade deve ser o ponto focal de todas as
oficinas e palestras que serão ministradas nessa semana.
Para tanto, a equipe pedagógica propôs uma semana de planejamento para que os professores
pudessem se organizar e elaborar propostas de oficinas. Particularmente, a coordenadora
pedagógica solicitou a você a elaboração de uma oficina interdisciplinar em conjunto com o professor
de Física.

Após uma reunião, você e o professor de Física entraram em consenso sobre a elaboração de uma
oficina que permita o desenvolvimento de dois temas importantes: cálculo do volume de um sólido
utilizando a integral por revolução e cálculo do centro de massa de um objeto. Também, vocês
decidiram que esses tópicos deverão ser desenvolvidos utilizando-se conceitos estudados na
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, mas deverão ser contextualizados nos tópicos de Física
que são vistos no ensino médio.
Por experiência, vocês entendem que a oficina deve ser “testada” antes de ser colocada em execução
pelos seus alunos, pois os problemas que podem surgir durante a oficina são inúmeros. Logo, vocês
irão executar a oficina e, no final, desenvolver um documento (texto) sobre todo o processo.
Agora, é com você!
Diante do contexto apresentado, você deverá realizar algumas etapas para elaborar a produção
textual.

Etapa 1: Cálculo do volume de um sólido utilizando o método da integral por revolução

Nós vamos trabalhar com um cone reto.

Disponível em https://bit.ly/2WyWPmZ. Acesso em 18 jul 2020.
Você pode utilizar um objeto na forma de um cone reto ou fazer o seu próprio cone, desde que seja
de material impermeável, pois iremos imergi-lo num recipiente contendo água. O ideal é que o cone
seja sólido, mas caso não encontre, você pode utilizar um que tenha uma tampa. Caso você também
não consiga nenhum dos dois tipos de objeto, pode improvisar uma tampa utilizando um filme de
PVC utilizado na cozinha. Todo o material pode ser encontrado em supermercados.
1.1 Discussão sobre a fórmula da educação básica
Muitas fórmulas que estudamos na Educação Básica, podem ser deduzidas utilizando conceitos do
Cálculo Diferencial e Integral, e uma delas é o volume do cone. Podemos obter um cone ao rotacionar
a curva y = ax em torno do eixo x, em um intervalo [0, h]. De acordo com a imagem podemos
observar que f(h) = ah = r. Com base nessas informações, deduza a fórmula do volume do cone
V =
1
3
πr
2h.

 

1.2 Calculando o volume do cone construído

Sabemos que o cone pode ser formado ao rotacionar a reta y = ax em torno do eixo y. Sabe-se que
a altura desse cone está no intervalo [0, h]e que a é o raio do cone. Diante dessas informações, você
deve decidir: Qual o valor do raio do meu cone? E da altura? Escolhidos esses valores construa o cone
e calcule o volume do cone utilizando o conceito de integral por revolução.
1.3 Empuxo, Princípio de Arquimedes e Comprovação do valor do volume calculado de seu cone
Nesta etapa você deverá fazer uma discussão sobre a importância de se calcular o volume de um
objeto. Essa discussão deve ser contextualizada, com a utilização de exemplos do nosso cotidiano.
Na parte da Física que estuda os fluidos, existe um princípio muito importante que é o princípio de
Arquimedes. Esse princípio é estudado no ensino médio, portanto, você pode pesquisar nos seus
“velhos” livros de Física. Nossa proposta é que você faça uma discussão sobre a correlação entre o
volume de um corpo imerso parcialmente ou totalmente em um fluido, a força de empuxo que atua
sobre ele e o princípio de Arquimedes. Ilustre essa etapa reproduzindo a experiência de que
Arquimedes realizou. Para isso utilize o cone construído anteriormente e não se esqueça de ilustrar
sua experiência com fotos do experimento.
Para a experiência, seu cone, caso não seja maciço, deve ser preenchido por algum material e deverá
ser tampado, ou seja, ele deverá simular um cone maciço.

 

Dica: Na experiência, utilize dois recipientes: um recipiente para encher, até a sua borda, de certo
líquido (pode ser água) e outro para coletar o volume de líquido que será transbordado quando você
colocar o seu cone. O cone deverá ficar completamente submerso no líquido.
Você deverá repetir o procedimento (experiência de Arquimedes) 5 vezes, obtendo 5 valores para o
volume do cone. Isto permitirá você calcular o volume médio e o desvio padrão relacionados com os
valores encontrados.

Tendo como base o valor médio experimental do volume do seu cone, bem como o seu desvio médio,
compare com o valor calculado através dos métodos de cálculo diferencial e integral. A partir dessa
comparação, você deverá fazer uma análise crítica da experiência e da similaridade dos valores
calculados.

Etapa 2: Centro de massa de um sólido e a descrição do movimento de corpos
Na Mecânica clássica estudamos os movimentos dos objetos considerando que eles são pontuais.
Apesar de ser uma aproximação, podemos resolver vários problemas dessa maneira. A pergunta que
deixamos aqui é: por que isso é possível?
A proposta dessa etapa é que você faça uma discussão sobre centro de massa: o que é, para que
serve e como pode ser calculado. Qual a correlação entre centro de massa e o movimento de corpos?

Elaborando o Relatório

Após a realização das tarefas, elabore um relatório contemplando todos os estudos
realizados, organizando-o com base nos seguintes critérios:
Introdução: você deve apresentar um texto que contemple os objetivos da produção textual,
bem como os principais assuntos que serão discutidos ao longo do trabalho, considerando os
estudos realizados com base nos passos 1 e 2, elaborando um texto contendo de 1 a 2 páginas.

 

Desenvolvimento: será composto por:
• Etapa 1: Cálculo do volume de um sólido utilizando o método da integral por revolução (3 a 5
páginas)
• Etapa 2: Centro de massa de um sólido e a descrição do movimento de corpos. (2 a 3 páginas)
Considerações finais: você deve apresentar um texto que retome os objetivos da produção
textual, apresentando as principais reflexões desenvolvidas a partir da temática em estudo. O
texto elaborado deve conter de 1 a 2 páginas.
Referências: apresentar todas as referências utilizadas na elaboração da produção.
Anexos: apresentar os anexos, se houver.


 

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